数学真理的繁荣

　　对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。

　　——开普勒

　　宏大的希腊文明被几股力量所摧毁，首先就是来自希腊、埃及和近东罗马人的逐渐侵占。罗马人扩充政治势力的目的并不是要传播它的唯物主义文化，而是使被征服的地区成为殖民地，通过剥削和捐税，可从中搜刮巨大的财富。

　　基督教的兴起是对异教的希腊文化的另一个打击，尽管基督教的领袖们为使基督教更易于被接受，采纳了许多希腊人和东方的神话和习俗，但他们仍然反对异教徒的学问，甚至嘲弄数学、天文学和物理学。尽管受到罗马人的残酷迫害，基督教仍广为流传并且变得如此强大以至于罗马皇帝君士坦丁大帝(Constantinethe Great)在公元313年的米兰诏书中将基督教定为国教。后来，狄奥多西(Theodosius)废除了异教并且在392年发布命令拆毁他们的神庙。

　　成千上万的希腊图书被罗马人和基督徒所焚毁，在公元前47年，罗马人纵火焚烧亚历山大里亚港口内的埃及船只，火势蔓延烧毁了藏书最丰富的古代图书馆。在狄奥多西禁止异教的年代里，基督徒摧毁了亚历山大里亚城内唯一保存大量希腊著作的塞拉皮斯神庙，其他许多写在羊皮上的著作也被基督徒刮掉以便写他们自己的著作。

　　罗马帝国的后期历史也与此类似，狄奥多西将他广阔的疆土分给了他的两个儿子，霍诺留统治意大利和西欧，阿卡丢统治希腊、埃及和近东。西部在公元5世纪时被哥特人占领，所以其后续历史属于中欧，东部则保持了独立。由于东罗马帝国，也被称为拜占庭帝国，容纳了希腊和埃及，在某种程度上说，希腊文化和希腊著作被保存了下来。

　　对希腊文明的最后打击是公元640年新崛起的回教徒对埃及的征服。残剩的图书被焚毁一尽，其理由正如阿拉伯征服者奥玛尔所说的：这些书的内容或许可兰经里也有，那么我们不必读它；这些书里或许有反对可兰经的内容，那我们不准读它。因此在亚历山大里亚的浴室里接连有六个月用羊皮纸来烧水。

　　回教徒占领埃及以后，大多数学者迁居到当时的东罗马帝国的首都君士坦丁堡。尽管在不友好的拜占庭基督教氛围内没有什么按希腊思想轨迹的活动能兴旺发达，但这些学者及其著作汇集到相对安全的地方，却丰富了几百年后流传给欧洲的知识宝库。

　　印度人和阿拉伯人使得数学活动得以延续，并且引入了一些对后世有较大影响的思想①。从公元200年至1200年，印度人在某种程度上受过希腊著作的影响，对算术和代数做了一些有独创性的贡献。阿拉伯人，在其鼎盛时期，王国已扩充到濒临地中海的所有陆地并伸入近东，包括了许多被回教徒统一的种族。他们吸收了许多希腊人和印度人的成就并取得了一些属于自己的发展，这些成就含有亚历山大里亚希腊人的精神，混和了演绎推理和实验。阿拉伯人对算术、几何、天文学和光学均做出了贡献，他们也建立了旨在传播知识的学院和学校，阿拉伯人值得称道之处在于：尽管他们是他们自己宗教的忠实信徒，但并没有允许宗教的教旨限制他们的数学和科学研究。

　　抛开印度人和阿拉伯人都从希腊人建立的坚实的基础中获益的事实不谈，尽管他们发展了希腊的数学和科学，但他们并没有像希腊人那样渴望理解宇宙的结构。阿拉伯人广泛地翻译，评论甚至批判希腊人的著作，但是，没有什么非常重要或有价值的东西去丰富已知的真理。到公元1500年，他们的王国被西部基督徒和东部的内战给毁掉了。

　　正当阿拉伯人建设和扩大他们的文明时，另外一种文明在西欧产生了。在中世纪的西欧，一种高水平的文化被建立起来，从公元500年一直延续到1500年，这种文化被天主教教会所控制。然而，不管其多么精深，值得称道，也不会有利于对现实世界的研究。上帝统治了宇宙，人的作用只是侍奉和取悦于神，这样就可使灵魂得救，从而可在阳光明媚、欢乐幸福的来世永生。今世生活水准无足轻重，并且痛苦和磨难不仅应该忍受而且事实上必须经历，以之来检验对神的忠贞不二。因此，在希腊时代，由于研究现实世界的需要而激起的对数学和科学的兴趣在当时处于低谷就可以理解了。中世纪欧洲的学者虽然是真理的孜孜不倦的探求者，却是到《启示录》和《圣经》中去寻找真理，因此中世纪的思想家没有为自然界的数学设计提出新的证据。然而，后来的中世纪哲学确实承认自然行为的规律性和一致性，尽管这被认为是上帝的意志的结果。

　　后来，中世纪欧洲被一系列的变革所震撼和改变。在中世纪文明转为现代文明的许多事物中，我们所最关心的是希腊著作的获取和研究。我们知道这是通过阿拉伯人的翻译和完好无损地保存在拜占庭帝国的希腊著作而得到的。事实上，当土耳其人在1453年征服这个帝国时，许多希腊学者带着他们的著作向西逃窜，正是从这些希腊著作中，睿智的欧洲文艺复兴领袖们知道了自然是依照数学而设计的，而且这种设计是和谐统一、美妙悦人的，它正是自然界的内在真理所在。自然界不仅仅是合理的、有秩序的，而且是依照恒定的，不可抗拒的法则来运转的。欧洲的科学家就像希腊人的孩子一样开始了他们对自然界的探索。

　　希腊思想的复苏引起了一些人对研究自然的兴趣，但是，数学和科学复苏的速度和强度是由许多其他的因素引起的。使一种文化消亡并且培植了另一种文化的作用力是多方面的而且是极其复杂的。关于科学的兴起已经被许多学者研究过并且许多历史书已经非常确切地描述了其原因，除了引证它们以外，我们在这不必再做什么。

　　一个自由工匠阶层的产生，紧接着对数学、技能和技术的兴趣引出了一些科学上的难题。以寻找原料和黄金为动机的地理探险导致掌握了一些以前不为人知的陆地和习俗的知识。这些对中世纪欧洲文化提出了挑战，新教变革反对某些天主教义，因而引发了二者之间的论战。清教徒向人们强调工作和知识的用处。火药的引入，引出了新的军事问题。例如抛物体的运动及在海洋上航行好几千英里不见陆地，都促进了对自然的研究。印刷术的发明使过去一直由教会控制的知识的传播成为可能。尽管权威们对到底是哪一个或哪些外力影响了对自然的探求各执己见，但是，这些力是如此之多，足以使我们注意到这样一个被普遍接受的事实，对科学的探索确实是现代欧洲文明的最主要特征。

　　欧洲人通常并不立即对新的冲击和影响作出反应，在标榜为人文主义的年代中对希腊著作的研究和吸收远甚于对希腊人的目标的追逐，但是大约到了公元1500年，被灌输了希腊目标的思想——即推理在自然研究中的应用以及对数学设计的根本原因的探索——开始活跃起来。然而，他们面临一个难题，希腊目标与当时盛行的文化产生了冲突。希腊人相信自然界的数学设计，自然界亘古不移地遵守某个理想的方案。而后来中世纪学者把所有的方案和行为都归于上帝，他是设计者和创造者，而且所有的自然界行为都遵循他制定的规则，宇宙是他的杰作，是他的意志的产物。文艺复兴时期及后续几个世纪的数学家和科学家都是正统的基督徒因而接受了以上宗旨，但是天主教学说中决不会包括自然界的数学设计这样的希腊教条，那么怎样使试图弄清上帝的宇宙和探求自然界的数学法则和谐一致呢？答案就是再增加一条新教义，即上帝依照数学设计了宇宙，这样，以理解上帝的意愿和他的创作为最高宗旨的天主教教旨就以探求上帝对自然的数学设计的形式出现。事实上，16、17世纪及18世纪的大半，数学家所做的工作都是宗教的需要。这一点我们不久会看得更清楚，探索自然界的数学法则是一种很虔诚的工作，其揭示上帝的杰作的伟大和辉煌。数学知识，即是关于上帝的宇宙设计的真理，就像任何一条《圣经》的经文一样神圣不可侵犯。人类不可能指望像上帝自己那样清楚地明白上帝的意图，但人至少可以以谦恭和虔诚的态度来接近神的思想，这样就可以明白神创造的世界。

　　人们更进一步断言：存在支配自然现象的数学规律，并且不懈地探求，因为他们还先验地相信，上帝已将这些规律融入了宇宙结构中，每一个自然法则的发现都被视为神的英明的证明而不是证明研究者自己。数学家和科学家例证了文艺复兴时期席卷欧洲的更广泛文化现象。最近重新发现的希腊著作向人们展示了一个极为虔诚的基督教世界，其中每一个教派的领袖都被另一个教派的教条所吸引并相互采纳。

　　希腊人的宗旨——自然是依数学设计的，与文艺复兴时的信念——上帝是这个设计的作者，融汇在一起，统治了欧洲，关于这一点最令人信服的证据就是哥白尼和开普勒的工作。直到16世纪，唯一合理和实用的天文学理论是喜帕恰斯和托勒密的地心说，这套理论被职业天文学家所接受并应用于历法推算和航海。新天文学理论的工作是由哥白尼开创的，他于1497年入波伦亚大学学习天文学，在1512年他被任命为东普鲁士瓦尔明佛朗大波尔教堂的教士。这个工作使得哥白尼有足够的时间来进行天文观测并思考与之有关的理论，经过数年的观测和思考，哥白尼形成了一套关于行星运动的新理论，并写入他的经典著作《天体运行论》。这部书的第一版他于1507年就已完成，但由于担心其将触怒教会，哥白尼迟迟没有发表。这部书于1543年，即他逝世的那一年问世。当哥白尼开始思考天文学的时候，托勒密的理论变得更为复杂了，更多的周转圆被补充进由托勒密引入的这套系统以使其满足大部分由阿拉伯人获得的不断增长的观察数据。在哥白尼时代，这套理论共需77个圆来描述太阳，月亮及当时所知的五颗行星的运动。对许多天文学家来说，这套理论就像哥白尼在他的书的序言中所说那样，达到了令人难堪的繁琐。

　　哥白尼研究过一些希腊著作并且确是依数学及和谐的原理设计的。和谐，要求一套更赏心悦目的理论而不是繁复冗赘的托勒密理论。在读了某些希腊作者，主要是阿里斯塔修斯(Aristar-chus)的著作后，哥白尼认为或许太阳是静止不动的，地球绕太阳旋转的同时自转，他决心研究这种可能性。

　　哥白尼的推理的要点是他也用托勒密关于周转圆和从圆的图式（见第一章）来描述天体的运动。然而，最主要的区别是，太阳位于每个从圆的中心，而地球成了一颗在圆周上运动，同时自转的行星，他将圆（包括周转圆和从圆）的数目从地心说所需要的77个减小到34个，从而极大地简化了地心说。

　　更加惊人的简化成就是由开普勒(TohannesKepler)所取得的，这是科学史上最不可思议的事情。他的一生经历了许多个人不幸及由宗教和政治事件引起的磨难。1600年，他幸运地成为著名的天文学家布拉赫(TychoBrahe)的助手。其时布拉赫正致力于自古希腊以来第一桩大的科学工作，即重新进行全面的天文观测，这些观测和其他由开普勒自己完成的观测对开普勒有极大的价值。布拉赫于1601年死去，开普勒接替他而成了奥地利国王鲁道夫二世（Rudolf Ⅱ，1576—1612年在位）王宫中的王室数学家。开普勒的科学推理令人叹为观止，像哥白尼一样，开普勒也是个神秘工作者，他相信上帝在设计世界时，遵循了某个简单、优美的数学方案，在他的著作《宇宙的秘密》（1596年）中他说上帝头脑中的数学和谐性解释了“为什么天体运动的轨道、大小和数目是这样而不是那样。”这种信念占据了他的全部思维。但开普勒也具备我们今天归于学者才有的那种品质，即近乎冷酷的理性化。他丰富的想象产生了新理论体系的概念，但开普勒明白理论必须与观察结果相一致，到了晚年他更清楚地意识到正是从经验资料提出了科学的基本原则，开普勒因此甘心放弃他最心爱的数学假设，一旦看到这种假设和观测数据不一致，他就以难以置信的固执拒绝容忍任一位当时学者都会忽略的偏差。这导致他可以赞成极端的科学思想。开普勒拥有谦逊，坚忍和毅力等诸多品性，正是这些品性帮助伟人们去成就他们非凡的事业。

　　开普勒确信存在自然的数学规律，这些规律的追求使他在错误的道路上探索了多年。在《神秘的宇宙》一书的序言中，他说：“我企图去证明上帝在创造宇宙并且安排宇宙的次序时，看到了从毕达哥拉斯和柏拉图时代起就为人们熟知的五种几何正多面体，他按照这些形体安排了天体的数目，它们的比例和它们运动间的关系。”但是，以五个正多面体为基础建立起来的理论所推出的结论与观测的结果不一致，他花了极大的努力以改进了的形式去运用它，但最后还是放弃了这种方法。

　　然而，他在后来努力寻找和谐的数学关系时，却取得了极大的成功，他最著名也是最重要的成果就是我们今天所说的开普勒行星运动三定律。前两条定律公布在他 1609年出版的一本书里，这本书有一个很长的名字，通常取其前部分，称为《新天文学》或取其后部分，称为《论火星的运动》。第一条定律尤为著名，因为开普勒打破了两千多年来的传统，即必须用圆或球来描述天体运动。毋须借助于托勒密和哥白尼用来描述行星运动的周转圆和从圆，开普勒发现只须一个椭圆足矣。其声称，每颗行星都沿着椭圆轨道运行，太阳位于这些椭圆轨道的公共焦点上（见图2.1），而另一个焦点只是一个数学点，什么也没有。这条定律使得理解行星运动轨道更加容易因而极富价值。当然，开普勒像哥白尼一样，他指出，地球在绕其椭圆形轨道运行同时也在自转。

　　但欲使天文学有实际用处的话，它必须再进一步，它必须告诉我们怎样预言行星的位置。如果一个人通过观测得知行星处于一个特殊点，比如说，在图2.1中的P点，他可能想知道什么时候，比方说，夏至、冬至或春分、秋分时这颗行星会位于什么位置，人们所关心的是行星以多大的速度绕它们的轨道运行。

　　在这里，开普勒也迈出了极为大胆的一步，哥白尼和希腊人一直用的是匀速，即行星沿着它的周转圆运动等时间内扫过相同的弧度，同时，每个周转圆的中心又在另一个周转圆或从圆上作匀速运动，但是开普勒的观测结果告诉他，行星并不以匀速绕其椭圆形轨道运动。一个艰苦而漫长的寻找速度规律的工作以胜利而告终。他发现，如果行星在一个月内从P点移到Q点（图2.2），比如说，也是一个月内，从P′点到Q′点，则面积PSQ与面积P′SQ′相等。由于P点距太阳较P′点近，如果面积PSQ与面积P′SQ′相同，弧PQ必须优于弧P′Q′，因此，行星并不是以匀速运动，事实上，它们靠近太阳时运动得快一些。

　　

　　开普勒为他发现了第二定律而欣喜若狂，尽管它没有简单到像匀速运动定律那样好用，却证实了他最基本的信念，即上帝是依据数学原理来设计世界的。上帝所选择的可能更为微妙，但数学定律却能清楚地指明行星运动的速度大小。

　　还有一个重要问题没有解决，从太阳到行星的距离是依照哪一个定律来描述？问题的复杂性在于从行星到太阳的距离不是固定的，因此开普勒想找出一个新的能反映这一情形的原理，开普勒深信，自然界的设计不仅是基于数学原理，而且还基于和谐原理，他认为“和谐”这个词在这里非常贴切。他相信存在关于天体的音乐，其能产生和谐的旋律效果，不是通过耳朵，而是通过将行星运动的事实转译成音符而辨别出来。开普勒遵循这样的思想，即把数学性与音乐性奇妙地结合在一起。他得出，如果T是行星的公转周期，而D是其与太阳的平均距离，那么

　　T²=KD³

　　此处K对于所有行星都是一个常数，这就是开普勒在《世界的和谐》（1619年）中得意洋洋地宣布的行星运动第三定律。然后，开普勒对上帝大唱赞歌：“太阳、月亮和群星，用你们无法表达的语言赞颂上帝吧！天上的和谐，你应当理解上帝神奇的创造，给它唱赞歌吧！我的灵魂，你赞美造物主吧！造物主创造了一切，一切又存在于造物主之中，我们最了解造物主和我们虚幻的科学所创造的东西！”

　　哥白尼和开普勒坚信上帝和谐、简单地设计了世界的程度可以通过他们必须反驳的异议来判断。其他行星按照托勒密理论运动，可以用希腊人的学说这样解释：这些行星是由特殊的很轻的物质所组成，因而很容易运动，但是怎样才能使很重的地球运动呢？哥白尼和开普勒都不能回答这个问题，还有一种反对地球转动的观点认为：如果地球在旋转，那么，地球表面的物体会飞到宇宙中去，就像物体从旋转着的平台掉下来一样。没有人能反驳这种观点。对于更进一步的反对意见，旋转的地球会飞散，哥白尼软弱地反驳说，地球的运动是自然的，因而不会毁掉它自己。然后他反问道，为什么天空不会因为昼夜不停的飞速运转（地心说理论认为的）而飞散？还有另外一种反对意见：如果地球由西向东旋转，那么抛向空中的物体就会坠落于原来位置的西边，因为当地球运动时物体还在空中。更进一步，地球围绕太阳旋转，既然物体的速度与其重量成正比，至少如同希腊人和文艺复兴时期的物理学所认为的那样，那么地球上较轻的物体应留在后边，甚至空气也应留在后边。对这最后一个问题，哥白尼解释说：空气具有“地球性”，所以其富有同情心地跟着地球运动。所有这些反对意见的实质在于：地球的自转与公转不符合在哥白尼和开普勒时代被普遍接受的亚里士多德运动理论。

　　一类反对日心说的科学异议来自天文学本身，尤以基于下列事实的为甚：日心说把恒星视为固定不动，然而，地球在六个月时间内要在空中变换它的位置约186，000，000英里，因此，如果人在某一时间内看到某颗恒星并且在六个月后又看到它，则视差应该可以被观测到，然而在哥白尼和开普勒时代这却做不到。哥白尼争辩说，恒星离我们是如此之远以至于视差太小而难以被观测到。他的解释不能使批评者信服，他们反驳说：如果恒星真的那么遥远，那么它们就根本不会被清楚地看到。在这个问题上，哥白尼的回答是正确的，即使是离我们最近的恒星，在六个月内它的视差也只有0.31秒，这是由数学家贝塞尔于1838年首次观测到的，当时，他有一架高级望远镜。

　　传统主义者又进一步问道，根据新天文学，地球以每秒约18英里的速度绕太阳转动并以每秒约0.3英里的速度自转，为什么我们却没有感到任何运动呢？事实上我们的感觉告诉我们是太阳在天空运动，对于开普勒时代的人来说，这样的论证是无可辩驳的，所有这些对地球是在运动的科学异议都很有份量，并且不能视为拒绝接受真理的顽固守旧势力而不予考虑。

　　哥白尼和开普勒都很虔诚，但他们都否定了基督教的一条核心教义，即人是宇宙的中心，上帝主要关心的是人。把太阳置于宇宙的中心，这就威胁了这个慰藉人类的教义，因为它使得人成为可能有的一大群漂泊于寒冷天空的流浪者之一，他不像是为了生前享受荣华富贵，死后荣登天堂，更不像是上帝施恩的对象。哥白尼抨击地球是宇宙中心的说法，他指出，宇宙是如此巨大以至于去谈论其中心是毫无意义的，但是这种逆耳之声在当时影响甚微。

　　反驳所有反对日心说的意见，哥白尼和开普勒都只用了一个无以辩驳的回答，他们都使得自己的理论臻于数学的理论，更显得和谐，优雅。考虑到上帝设计了宇宙并且显然会采用更优秀的理论，那么日心说就一定是正确的。

　　对他们所发现的，并认为是正确的理论，在哥白尼的《天体运行论》及开普勒的许多著作中都有毋庸置疑的证明。比方开普勒，评价他的椭圆运动理论时说：“我从内心深处感觉到这个理论的真实性，我以难以置信的欣喜之情欣赏它的美妙。”开普勒1619年发表的著作，就取名为《世界的和谐》，其中洋溢着他对上帝不尽的赞颂，表达了对上帝辉煌的数学设计的钦佩之情，也表示了他自己对此坚信不疑。

　　起初只有数学家支持新理论是不足为奇的。因为只有那些确信宇宙数学化并且简单化地设计的数学家才具备坚定的信心去蔑视那些盛行的哲学上的，宗教上的和科学上的异议，而欣赏这种革命性的天文学数学。只有对数学在设计宇宙中的重要性坚信不移的人才有勇气去面对强大的反对力量而证实一种新理论。

　　对新理论的支持来自于一个意想不到的发展。早在17世纪，望远镜就被发明出来，伽利略听说了这项发明之后马上自己建造了一架，然后用于天体观测，这令他的同时代人大为震惊。他看到了木星的四颗卫星（我们现在能看到12颗），这一发现表明，每个行星都可以有卫星，伽利略还观察到月亮粗糙的表面及山峰，他还观察到太阳和围绕土星赤道的一条隆起带（现在我们称之为土星光环）。他的发现进一步证实：行星都同地球相像，它们肯定不是像希腊人和中世纪的思想家所认为的由轻飘飘的物质所构成的理想球体。用望远镜可以发现原先在天空中像一条宽宽的光带的银河是由无数颗恒星组成，因此天空中还含有其他的太阳，也许还有其他的行星系。哥白尼预言，假如人类的视力更锐利一些，我们就能观测到金星和水星的相位，就像我们能用肉眼看出月球的相位一样。借助望远镜伽利略确实观测到了金星的相位，他的观测结果使他确信哥白尼的理论是正确的，而且他在其经典著作《关于两大世界体系的对话》（1632年）中竭力为之辩护。日心说之所以被接受还由于其使得天文学家、地理学家及航海家计算起来更为简便。到17世纪中叶，科学界也愿意在日心说的基础上继续发展，而数学法则对真理的要求也得到了极大的加强。

　　坚持地球既围绕太阳旋转同时又自转的学说在17世纪早期的理性氛围中绝不是偶然的。伽利略被罗马天主教宗教法庭审判早已众所周知，虔诚的天主教徒帕斯卡发现自己的著作被列入禁书之列，因为他不知天高地厚地诋毁基督耶稣，在他的《致外省人书》中，帕斯卡声称：“对于伽利略的地动学说，即使你得到了罗马教廷否定伽利略的判决也是徒劳的，因为这并不能说明地球是静止不动的……。”

　　哥白尼和开普勒毫无疑问地接受了希腊人关于自然是按数学设计的信念及天主教关于上帝创造和设计了宇宙的信条。笛卡尔(RenèDescartes)着手建立系统的、清晰的和有说服力的新科学哲学。尽管笛卡尔被誉为数学王冠上的明珠之一，但他首先是一个哲学家，其次是宇宙学家，第三是物理学家，第四是生物学家，第五才是数学家。他的哲学极为重要，因为它主宰了17世纪人们的思想甚至影响到牛顿和莱茨这样的巨人，他的基本目标是要找到在所有领域内建立真理的方法，这贯穿了他的基本著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（1637年，简称《方法论》）。

　　通过只接受那些确凿无疑的事实，笛卡尔开始他的哲学体系的建立工作。那么他是怎么区分哪些是可接受的论据，哪些是不可接受的呢？在他的《思维指导法则》中（写于1628年，但他死后才得以出版），他指出：“对于我们要研究的对象来说，我们不仅不应该研究他人已经想出的，而且也不应研究我们自己臆测的东西，而应研究我们能清楚明了的看出或可靠地演绎出的东西，因为知识不可能用别的方法得到。”使头脑有能力直接获得清楚和明晰的基本原理，极其敏锐的直觉和对结果的演绎——这就是笛卡尔认识哲学的实质。笛尔卡认为思维只有两种方法，它们能使得我们不必担心陷入谬误而获得知识，这就是：直觉和演绎。在《法则》一书中，笛卡尔对直觉给予很高的评价：“直觉是纯粹的专注的思维的可靠概念，它仅由理性之光产生，而且比演绎更可信一些。”

　　在《方法论》一书中，他证实了思想的存在以及由思想包含的确切无疑的知识，通过他的基本的直觉，笛卡尔在《方法论》一书中匆忙地证实了上帝的存在。而且后来在围绕着循环推理的争论中，他自己确信，直觉和演绎的方法一定是正确的，因为上帝不会欺骗我们。他说，“上帝是永恒的，不可改变的，独立自主的，全知的和全能的，并且包括我自己在内的万物都是上帝创造的。”

　　对于数学本身的真理来说，就像他在《哲学原理》（1641年）一书中指出的那样“对于属于算术和几何以及一般的纯抽象数学的图形、数字以及其他一些符号来说，我认为它们是最可靠的真理，对此我感觉得一清二楚。”“自从数学家从最容易的和最简单的东西开始研究后，只有他们才能找到确知的真理及相关的事实。”数学的概念和真理并不是由人们从感觉得来的，它们自从我们出生就深藏于我们思想之中了，这是上帝安排的，对一般三角形的感性认识永远也不会使人联想起理想三角形的概念。同样对心智很清楚的人来说，三角形的内角和一定是180°。

　　笛卡尔下一步将目光对准现实世界，他说，对于清清楚楚的直觉以及由之而来的演绎法，我们可以放心地将它们应用到现实中去。他认为上帝是按数学设计世界的，在他的《方法论》中，他证实了可靠真理及观念的存在，前者是上帝在自然界中建立起来的，而后者扎根于我们灵魂之中，一旦我们对它们有足够多的思考，将不再怀疑它们可以在世界上所存在和发生的万事万物中精确地观测到。

　　笛卡尔进一步证实自然法则是永恒不变的，因为它们是并且仅仅是预定的数学模型的一部分。甚至就在出版他的《方法论》以前，笛卡尔在1630年4月15日给一位与数学家过从甚密的神学家梅森(Marin Mersenne)的信中写道：

　　对于到处宣扬是上帝在自然界建立了这些原则不要害怕，这就像一个最高统治者在他的国家建立法律一样……。而且这就像一个国王，当他不被他的臣民所知的时候更加具有威信一样，我们把国王的伟大看成不可思议时，我们并没有想到我们根本就没有国王。一个人会告诉你如果上帝建立这些真理，他也可以像国王改变他的法律一样来变更他们。对此，人们可能回答到这有可能，只要他的意愿可以改变，但我认为这些真理是永恒不变的，这也同我认为上帝是永恒的一样。

　　这里笛卡尔否认了通行的信念：上帝在不断地干预宇宙的活动。

　　对于研究客观世界，笛卡尔希望只需数学，就像他在《方法论》中所说的，“迄今为止在所有探求真理的人中，只有数学家成功地进行任何一种证明，即进行明白无误的，确定无疑的推理。”在研究客观世界时，笛卡尔相信数学足够了，他在《哲学原理》中（1644年）写到：

　　我坦率承认，在现实物质中，我还不知道有什么其他的物质存在……除了几何学家用数值给它记上符号并且作为其论证的对象的那种物质。对于这种物质，我只考虑分界线、形状以及变化。简言之，除了可以由那些普通信条（它们的正确性毋庸置疑）用在数学证明中所推出的以外，我不相信任何事。而且到现在，通过这种方法我们可以解释自然界的一切现象……我不认为我们还可以承认什么其他的客观原理，或者说我们还有理由再寻找其他任何一条。

　　笛卡尔在他的《哲学原理》中明确指出科学的实质就是数学，他说他“既不承认也不希望在物理学中还有除了几何上的或抽象数学中以外的什么原理，因为这样才能使所有自然现象都可解释并且可给出确定的证明。”客观世界就是一个静止不动的空间，它具体体现在几何学中，因而其性质可从几何的基本原理中得出（因为那时数学的大部分都是几何学，因而笛卡尔和他的同代人都将几何看成数学的同义词）。

　　笛卡尔力图解释为什么世界可用数学来解释。他坚持认为物质最基本最可靠的性质就是形状、延展性和在时空中的运动，而所有这些都是可用数学描述的。由于形状可归结为延展，笛卡尔宣称：“如果给我延展和运动，我就能构造宇宙。”他特别强调所有物理现象都是受外力作用的分子机械运动的结果，然而作用力同样也满足不变的数学规律。

　　既然笛卡尔认为外部世界只是由运动的物质组成，那么他怎么解释味觉、气味、颜色以及音质呢？在这些问题上他援引古希腊人的信条，即德谟克里特的第一性和第二性学说。第一性，物质与运动，存在于客观世界中；第二性，包括味觉，气味、颜色、热、声音的悦耳或刺耳，不过是外界原子与感官互撞时由人们感官中的第一性产生的结果。现实世界是在时空中可用数学描述的物体运动总和，整个宇宙是通过数学原理建立起来的庞大的、和谐的机器，科学以及事实上任何用来建立顺序和测量的原理都可归于数学。他在《思维的指导法则》第四法则中写道：

　　所有那些目的在于研究秩序和度量的科学，都与数学有关。至于所求的度量是关于数、形、星体、声音或是其他东西都无关紧要。因此，应该存在一门普遍的科学，去解释所有我们能够知道的秩序和度量，而不必考虑他们在某个特殊学科中的应用。事实上，通过长期使用，这门科学已经有了其专门的名称，这就是数学。……其所以在灵活性和重要性上远远超过那些依赖于它的科学，是因为它完全包括了这些科学的研究对象和许许多多别的东西。

　　笛卡尔对数学本身并没有提出什么新定理，但他却提供了一种非常有效的研究方法，即我们现在所称的解析几何（见第五章），从技术的观点来看，解析几何彻底改变了数学研究方法。

　　在科学上，笛卡尔的贡献，虽然不如像哥白尼、开普勒以及牛顿那样辉煌灿烂，但也不容轻视。他的漩涡理论（见第三章）是17世纪时的主要宇宙学理论，他是机械论哲学的奠基人。这种哲学认为，所有自然现象，包括人体的作用，但除了灵魂，都可归结为服从力学定律的运动。对于力学来说，他系统地阐述了惯性定律，即现在所说的牛顿第一运动定律：如果没有外力作用，每个物体都保持其静止状态或匀速直线运动状态。

　　光学，特别是透镜设计，是笛卡尔另一个主要兴趣所在，实际上他的《几何学》一部分和《屈光学》的全部（《方法论》后面的附录）都是讲光学的。他和斯涅耳共同发现了光的折射定律，即光在媒质中传播时，媒质突然变化（如光从空气射到玻璃或水）时光线如何变化。希腊人开始将光学数学化，但笛卡尔的贡献在于他把光学发展成为数学科学。在其他领域他也做出重要贡献，包括地理学、气象学、植物学、解剖学（动物解剖）、动物学、心理学、甚至医学。

　　尽管笛卡尔的哲学和科学观点背离亚里士多德主义及中世纪的经院哲学，但在一个基本的方面，他还是一个经院主义者：他从自己的心里得出关于存在和实在的本质命题，他相信有先验的真理，而理智本身的力量可以得到对一切事物的完整知识。这样，他在先验推理的基础上阐明运动定律（实际上他在生物学及其他一些领域的研究中作了一些实验，并且从中得出一些重要的结论）。然而，通过把自然现象归结为纯物理现象，他做了许多努力去剔除科学中的神秘主义和超自然力。

　　17世纪伟大数学家之一，帕斯卡(Blaise Pascal)毫不怀疑科学中的数学及数学规律是真理。和笛卡尔不同，笛卡尔认为直觉明显地可以被头脑接受，帕斯卡则认为直觉只可以被内心所接受。真理必须是清晰地出现或在心里确定无疑，或者是这类真理的逻辑推论，在他的《思想录》里，他告诉我们：

　　关于空间，时间、运动和数的基本原理的知识如同我们通过推理获得的任何知识一样可信，事实上，由我们内心和直觉所提供的这种知识正是我们的推理赖以建立结论的基础。对推理来说，要求在接受来自内心的基本原理前就要求其证明是无意义的和荒谬的，就如同对内心来说，在接受由推理所论证的所有命题前就要求其有直观知识一样是无意义和荒谬的。

　　对帕斯卡来说，科学就是研究上帝的世界，他认为单纯为了娱乐来从事科学工作是错误的。以娱乐为主要目的而搞研究是糟蹋了研究，因为那种人抱有“一种对学问的不尽贪欲，对知识的恣意挥霍。”“这种对科学的研究出自于对自我为中心的关心，而不是着眼于在周围的自然现象中找出神的存在和光辉。”

　　在开创现代数学和科学，富有独创精神的思想家中，伽利略与笛卡尔齐名，当然，他也相信自然界是上帝按数学设计的。他在1610年《试金者》中的论述非常著名：

　　哲学（自然）被写在那部永远在我们眼前打开看的大书上，我指的是宇宙。但只有首先学会它的语言，把握了它的书写符号以后，我们才能理解它。它是用数学语言写成的，符号是三角形，圆以及其他几何图形，没有它们的帮助，人们一个字也读不懂，没有它们，人们就只能在黑暗的迷宫中游荡。

　　自然界是简单而有序的，它的行为是规则的而且是必要的，它依照完美并且不变的数学规律运动，神圣的推理是自然界中理性的源泉，上帝把严格的数学必要性置于世界，即使人的推理与上帝有关，人也只有通过艰苦努力才能领悟这种数学必然性。因此，数学知识不仅是绝对真理而且像《圣经》那样，每句每行都不可侵犯，更进一步，研究自然就得像研究《圣经》一样虔诚。“上帝在自然行为中所呈现给我们的，一点不比其在《圣经》中用神圣的字句所表示的逊色。”

　　伽利略在《关于两大世界体系的对话》（1632年）中断言：在数学中，人类达到了所有可能的知识的顶峰，这一点他并不比那位神圣的智者逊色。当然，后者知道的和感觉到的数学真理远远比人知道的多，但考虑到客观确定性，少数被人掌握的真理与上帝所知道的一样完善。

　　尽管伽利略是个数学教授而且是宫廷数学家，他的主要贡献是他在科学方法上的许多变革，其中，最著名的就是他的废除物理解释的主张——亚里士多德奉为科学的真正目标——而应去寻求数学描述。这两种目标的不同易于说明：一个物体落到地面，并且，事实上是以逐渐增加的速度下落的，亚里士多德及信奉他的方法论的中世纪科学家则力图解释引起它下落的原因，并假设是力学方面的。伽利略正相反，他仅用数学法则来描述下落，用现代数学记号来表述就是d＝16t²这里d指在t秒内物体下落的英尺数。这个公式一点也没说物体为什么下落，而且与人们想知道的有关这种现象的事更是风马牛不相及。然而伽利略确信我们要探寻的自然知识是可描述的。他在《两类新科学》中写到：“有关下落物体加速运动的原因并不是必然要研究的部分。”更一般的，他指出，他要研究和证明的是一些运动的性质而不考虑为什么会这样。正确的科学探索同所谓的寻求最后原因之类的问题要分别开来，而且物理原因的假设应该放弃。伽利略坚持向自然科学家提议：不要研究为什么会这样，而要讨论怎样定量描述。

　　对伽利略的这个方案的核心的第一反应即使在今天也许也是否定的，用公式来描述现象只能说是第一步，亚里士多德派好像实际上已掌握了科学的真正作用，这就是解释这些现象为什么会发生。即使笛卡尔也抗议伽利略的寻找描述性公式的决定，他说：“伽利略关于真空中落体所说的一切都是缺乏根据的，他应该首先确定重量的本质。”更进一步，笛卡尔说，伽利略应该思考终极原因。依照后来的发展，现在我们知道，伽利略追求描写的决定是关于科学方法论最深刻最有成效的变革。它的重要性，以后会更明显，就在于把科学置于数学的保护之下。

　　伽利略的另一个原则就是科学的任一分支都可用数学模型模仿出来，两个基本步骤是，数学从公理即不证自明的真理出发，通过推理建立新定理。所以，任一科学分支都应由公理或原理出发进行推理。更进一步讲，人们应该从公理中尽可能多地推出结论。当然这个原则是亚里士多德提出的，其目的在于用头脑中的数学模型推出科学的推理结构。

　　然而，伽利略与希腊人、中世纪思想家和笛卡尔在获取基本原理的方法上截然不同。伽利略以前的人及笛卡尔相信基本原理出自心中，心只须对任何一类现象加以思考，就能得出基本真理。心的这种力量在数学中得到明证，像等量加等量结果仍相等，两点决定一条直线等公理，只要一想到数和几何图形，就会立刻呈现出来，而且是毋庸置疑的真理。希腊人也确曾找出一些自明的物理原理，例如“宇宙中所有物体都应有自然位置”这条原理再恰当不过了。静止状态看起来显然比运动状态更自然，欲推动一个物体且使其保持运动，则必须用力，这似乎也是无可辩驳的。相信心能够提供基本原理，并不否认观测能帮助我们获得这些原理，但是观测只能唤起正确的原理。正如看见一个熟悉的面孔，就能想起有关那个人的事情一样。

　　这些学者就像伽利略所说的，是首先决定世界怎样依照他们预定的原理运作。伽利略认为，在物理学中，与在数学中相反，基本原理必须来源于经验和实验，获取正确基本的原理的方法应是注意自然说了什么而不是我们想了什么。他公开批评那些接受大自然怎样运作符合他们预定原理的规律的科学家和哲学家，他说，自然界并不是首先造出人的大脑，然后再安排世界以便使之可为人的智力所接受。中世纪的思想家喋喋不休地重复亚里士多德的话并且争论它的含义，伽利略批评说，知识来自观测，不是来自书本，关于亚里士多德的争论是无用的。对于沉湎于把科学看成是研究《伊利亚特》及《奥德赛》或者是诠释希腊人著作的人，伽利略称他们是纸上科学家。他说：“当我们得到自然界的意志时，权威是没有意义的。”

　　当然，一些文艺复兴时期思想家及伽利略的同代人弗朗西斯·培根也得出了实验是必要的结论。在他的新方法上，伽利略并不超出他人，但是，笛卡尔却认为伽利略依赖于实验的办法是不明智的。笛卡尔认为感觉只能导致幻觉，理性才能洞察幻觉。从心智所提供的天生的一般原理，我们能推出自然界的特殊现象并且理解它们。确实，如同我们前面提到的，在笛卡尔许多科学工作中，笛卡尔做了实验而且要求理论符合事实，但在他的哲学里他仍然依赖内心的真理。

　　少数数学物理学家同意伽利略的观点，即靠推理并不能确保物理原理的正确性。基督教徒惠更斯实际上批评过笛卡尔，英国物理学家也抨击过纯理性主义。胡克(Robert Hooke)说，伦敦皇家学会的成员们“面临着这么多致命的错例，这些错例，使人类的大多数人都为之迷惑，因为他们仅仅依赖于推理的力量。而现在，会员们已开始凭感性来校正所有的假设了。”

　　当然伽利略意识到靠一条不正确的由实验得出的原理，推出的结果也是不正确的，因此，他建议并且可能做了一些实验来检验他推理的结论以获得基本原理，然而，伽利略做实验做到何种程度却不得而知。有一些他称之为实验的，实际上是理想中的实验，即想象如果真做实验的话，一定会发生什么。然而，他的宗旨：物理学原理必须建立在经验及实验基础上却具有革命性的关键意义。伽利略毫不怀疑一些上帝用来创造宇宙的真实原理可从心里推出，但在从经验出发的角度上，他允许对此持怀疑态度。如果科学的基本原理必须来源于实践，数学公理为什么不行呢？这个问题在1800年以前对伽利略及他的后人都没引起什么麻烦，数学仍然是一门特权学科。

　　在他的科学著作中，伽利略聚焦于物质和运动，他清楚地并独立地认识到笛卡尔的惯性原理，即现在所说的牛顿第一运动定律。他也成功地获得作垂直运动、沿斜面运动物体及抛射体运动的规律，他证明抛射体运动轨迹为抛物线。总之，他获得了所有地上物体的运动规律。尽管，在任何一项重大的变革中，都可以找到一些前人的足迹，但还没有人能够像伽利略那样清楚地通晓指导科学研究的概念及原理，而且，没有人像他那样用简单而有效的方式证明了它们的应用。

　　由于伽利略的对他的时代的重大创新，他的哲学和科学方法论成为牛顿伟绩的开端，后者出生在伽利略逝世的那年。